Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : la somme de deux multiples de a est multiple de a
Deux multiple : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k. du même nombre : leur somme reste dans la même famille.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- multiple
- a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k.
Ce qu'on sait
- Un multiple de a s'écrit a × k, où k est un entier.
- La somme de deux produits ayant un facteur commun peut se factoriser par ce facteur commun.
La méthode, étape par étape
1.Je considère deux multiples quelconques de a : je les note a × k et a × l, où k et l sont des entiers.
2.Je calcule leur somme : a × k + a × l.
3.Je factorise par a, le facteur commun aux deux termes : a × k + a × l = a × (k + l).
4.k + l est un entier, comme somme de deux entiers, donc a × (k + l) est bien un multiple de a.
Pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est multiple de a.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons a = 7, avec les multiples 7 × 4 et 7 × 9.
2.7 × 4 = 28.
3.7 × 9 = 63.
4.28 + 63 = 91.
5.91 = 7 × 13 : 91 est bien un multiple de 7.