Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : √(a/b) = √a / √b pour a positif et b strictement positif
Le même argument que pour le produit, appliqué cette fois à un quotient.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- racine carrée
- Pour un réel positif x, √x est l'unique réel positif dont le carré vaut x.
Ce qu'on sait
- Pour un réel positif x, √x est l'unique réel positif dont le carré vaut x.
- Le quotient d'un réel positif par un réel strictement positif est positif.
La méthode, étape par étape
1.Je pose a un réel positif et b un réel strictement positif, et je veux comparer √(a/b) et √a / √b.
2.Les deux nombres √(a/b) et √a / √b sont positifs, comme racine ou quotient de nombres positifs (b strictement positif).
3.Je calcule le carré de chacun : (√(a/b))² = a/b, et (√a / √b)² = (√a)² / (√b)² = a/b.
4.Les deux carrés valent a/b, et les deux nombres sont positifs : ils sont donc égaux.
5.Donc √(a/b) = √a / √b.
Si a est un réel positif et b un réel strictement positif, √(a/b) = √a / √b.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Vérifions avec a = 36 et b = 4.
2.36 ÷ 4 = 9.
3.Le membre de gauche vaut donc √9 = 3.
4.Le membre de droite vaut √36 = 6 divisé par √4 = 2.
5.6 ÷ 2 = 3 : les deux membres donnent bien le même résultat, 3.