Géométrie · 2nde
Démonstration : la forme générale d'une équation de droite
La colinéarité et son déterminant suffisent à retrouver l'équation de n'importe quelle droite.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- équation cartésienne
- Une équation de droite de la forme αx + βy + γ = 0.
Ce qu'on sait
- La droite (d) passe par A(xA ; yA) et admet u(a ; b) comme vecteur directeur.
- M(x ; y) appartient à (d) si et seulement si AM et u sont colinéaires.
- Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
La méthode, étape par étape
1.Je pose M(x ; y) un point quelconque du plan, et j'écris AM = (x − xA ; y − yA).
2.M appartient à (d) si et seulement si AM est colinéaire à u(a ; b), c'est-à-dire si et seulement si det(AM ; u) = 0.
3.Je calcule ce déterminant : det(AM ; u) = (x − xA) × b − a × (y − yA).
4.L'équation devient b(x − xA) − a(y − yA) = 0, donc bx − ay − bxA + ayA = 0.
5.En posant c = ayA − bxA, j'obtiens la forme générale bx − ay + c = 0, une équation de la forme αx + βy + γ = 0.
Une droite de vecteur directeur u(a ; b) passant par A(xA ; yA) a pour équation cartésienne : Une équation de droite de la forme αx + βy + γ = 0. bx − ay − bxA + ayA = 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Établissons l'équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur directeur u(5 ; 3).
2.3(x − 2) − 5(y − (−1)) = 0.
3.3x − 6 − 5y − 5 = 0, donc 3x − 5y − 11 = 0.
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