Algèbre · 1re
Démonstration : le terme général d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique
de proche en proche : Un raisonnement qui construit un résultat pour tout rang n en l'établissant d'abord pour un rang, puis en le prolongeant au rang suivant, indéfiniment., chaque terme se déduit du précédent — il suffit de compter combien de pas ont été franchis depuis le départ.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- de proche en proche
- Un raisonnement qui construit un résultat pour tout rang n en l'établissant d'abord pour un rang, puis en le prolongeant au rang suivant, indéfiniment.
Ce qu'on sait
- Une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout entier naturel n.
- Une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q vérifie uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout entier naturel n.
La méthode, étape par étape
1.Cas arithmétique : je pars de u₀ et j'ajoute r à chaque étape. u₁ = u₀ + r, puis u₂ = u₁ + r = u₀ + 2r, puis u₃ = u₀ + 3r.
2.De proche en proche, j'ai donc ajouté r exactement n fois pour atteindre le rang n : uₙ = u₀ + n × r.
3.Cas géométrique : je pars de u₀ et je multiplie par q à chaque étape. u₁ = q × u₀, puis u₂ = q × u₁ = q² × u₀, puis u₃ = q³ × u₀.
4.De proche en proche, j'ai donc multiplié par q exactement n fois pour atteindre le rang n : uₙ = u₀ × qⁿ.
Arithmétique : uₙ = u₀ + n × r. Géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Arithmétique : u₀ = 5, r = 3. u₁ = 8, u₂ = 11, u₃ = 14, u₄ = 17.
2.Je vérifie avec la formule : u₄ = 5 + 4 × 3 = 17. Les deux méthodes donnent le même résultat.
3.Géométrique : u₀ = 2, q = 3. u₁ = 6, u₂ = 18, u₃ = 54, u₄ = 162.
4.Je vérifie avec la formule : u₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. Les deux méthodes donnent le même résultat.