Algèbre · 1re
Démonstration : le calcul de 1 + q + … + qⁿ
Multiplier toute la somme par q, puis la soustraire à elle-même : presque tous les termes s'effacent, et il ne reste qu'une différence de deux puissances.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- télescopage
- La disparition, dans une soustraction bien organisée, de tous les termes intermédiaires identiques présents dans les deux écritures.
Ce qu'on sait
- Je note S = 1 + q + q² + … + qⁿ, avec q différent de 1.
- Multiplier S par q décale chaque exposant d'un rang.
La méthode, étape par étape
1.J'écris S = 1 + q + q² + … + qⁿ.
2.Je multiplie cette égalité par q : qS = q + q² + q³ + … + qⁿ⁺¹.
3.Je soustrais la première écriture à la seconde : qS − S = qⁿ⁺¹ − 1 (tous les termes du milieu, communs aux deux sommes, s'éliminent par télescopage : La disparition, dans une soustraction bien organisée, de tous les termes intermédiaires identiques présents dans les deux écritures.).
4.Je factorise le membre de gauche : (q − 1)S = qⁿ⁺¹ − 1.
5.Comme q est différent de 1, je peux diviser par (q − 1) : S = (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1).
Pour q ≠ 1 : 1 + q + … + qⁿ = (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons q = 2 et n = 4.
2.S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16.
3.Avec la formule : S = (2⁵ − 1) / (2 − 1) = (32 − 1) / 1 = 31.
4.En additionnant directement : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Les deux méthodes concordent.