Géométrie · 3AC

Théorème de Thalès, triangles isométriques et semblables

Une ombre, un poteau, un arbre : avec une droite parallèle, on mesure sans escalader.

Le vocabulaire à connaître

triangles semblables: Deux triangles qui ont les mêmes angles : leurs côtés correspondants sont proportionnels.
triangles isométriques: Deux triangles qui ont leurs trois côtés égaux deux à deux : on peut les superposer.
réciproque: Le théorème lu dans l'autre sens : on part de l'égalité des rapports pour conclure au parallélisme.

Thalès : si M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
: si ces rapports sont égaux et si les points sont alignés dans le même ordre, alors (MN) est parallèle à (BC).
Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables (le troisième angle est alors forcément égal).

1.Je repère les deux droites parallèles et les deux droites sécantes qui se coupent en A.

2.J'écris l'égalité des rapports, en gardant le même ordre en haut et en bas.

3.Je fais le produit en croix pour la longueur cherchée.

4.Pour la réciproque, je calcule les deux rapports et je compare : égaux ou différents.

Avec des parallèles, les rapports de longueurs sont égaux ; si les rapports diffèrent, les droites ne sont pas parallèles.

C.Q.F.D.

1.M est sur [AB], N sur [AC], (MN) parallèle à (BC), avec AM = 3 cm, AB = 9 cm et AN = 4 cm.

2.Thalès donne 3/9 = 4/AC.

3.Le produit en croix donne AC = 4 × 9 ÷ 3 = 12.

4.Donc AC = 12 cm.