Analyse · Tle
Démonstration : divergence vers +∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +∞
Rester toujours au-dessus d'une suite qui explose : voilà qui suffit à exploser soi-même.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- minorer
- Vérifier que uₙ ≥ vₙ pour tout n (ou à partir d'un certain rang) : (vₙ) est alors une suite minorante de (uₙ).
Ce qu'on sait
- Une suite (vₙ) tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous ses termes à partir d'un certain rang.
- Si uₙ ≥ vₙ pour tout n à partir d'un certain rang, toute MINORATION de (vₙ) se transmet à (uₙ) : ce qui est vrai en dessous reste vrai au-dessus.
La méthode, étape par étape
1.Je fixe un réel A quelconque : je dois montrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de (uₙ) dépassent A.
2.Comme (vₙ) tend vers +∞, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N, vₙ > A.
3.Comme uₙ ≥ vₙ pour tout n (à partir d'un certain rang), j'obtiens, pour tout n ≥ N, uₙ ≥ vₙ > A.
4.J'ai donc trouvé un rang à partir duquel tous les termes de (uₙ) dépassent A.
5.Comme A était quelconque, (uₙ) tend vers +∞.
Si uₙ ≥ vₙ pour tout n et que (vₙ) tend vers +∞, alors (uₙ) tend aussi vers +∞.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour uₙ = n² + (−1)ⁿ et vₙ = n² − 1, on a uₙ ≥ vₙ pour tout n.
2.Comme vₙ tend vers +∞, la suite uₙ tend elle aussi vers +∞.