Analyse · Tle
Démonstration : la dérivée de la fonction logarithme népérien
ln et exp sont réciproques : dériver l'identité qui les relie suffit à trouver la dérivée de ln, sans repartir d'un taux de variation.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- dérivée d'une composée
- Pour deux fonctions dérivables v et u, (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′ : on dérive la fonction extérieure, évaluée en u, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Ce qu'on sait
- ln et exp sont réciproques : eln(x) = x pour tout réel x strictement positif.
- La dérivabilité de ln sur ]0 ; +∞[ est ADMISE (elle n'est pas démontrée ici).
- La fonction exponentielle vérifie exp′ = exp.
La méthode, étape par étape
1.Je pars de l'égalité eln(x) = x, vraie pour tout x strictement positif.
2.Je dérive les deux membres de cette égalité par rapport à x, en admettant que ln est dérivable.
3.Le membre de droite se dérive en 1. Le membre de gauche est une composée : je pose u(x) = ln(x), et je dérive eᵘ avec la formule de la dérivée d'une composée : Pour deux fonctions dérivables v et u, (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′ : on dérive la fonction extérieure, évaluée en u, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. : (eln(x))′ = ln′(x) × eln(x).
4.Comme eln(x) = x, j'obtiens ln′(x) × x = 1.
5.J'en déduis ln′(x) = 1/x, pour tout x strictement positif.
La fonction dérivée du logarithme népérien est ln′(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.En x = 2 : ln′(2) = 1/2.
2.La tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 2 a donc pour coefficient directeur 1/2.