Fonctions · 1re Bac SE

Composée, signe, périodicité et symétries

Une courbe qui se répète ou qui se reflète n'a besoin d'être étudiée qu'en partie : le reste s'obtient par symétrie.

Le vocabulaire à connaître

fonction composée: La fonction g∘f qui, à x, associe g(f(x)) : on applique f puis g.
période: Un nombre T tel que f(x + T) = f(x) pour tout x : la courbe se répète tous les T.
axe de symétrie: Une droite x = a telle que f(2a − x) = f(x) : la courbe est son propre reflet par rapport à cette droite.

Si f et g ont le même sens de variation sur les intervalles concernés, g∘f est croissante ; sinon elle est décroissante.
La fonction x ↦ sin(ax) ou x ↦ cos(ax) a pour 2π/a.
La droite x = a est si f(2a − x) = f(x) ; le point (a ; b) est centre de symétrie si f(2a − x) + f(x) = 2b.

1.Pour une composée, je donne les variations de f, puis celles de g sur l'image de f.

2.Pour le signe, je lis le tableau de variations : un minimum strictement positif donne une fonction strictement positive.

3.Pour une symétrie, je calcule f(2a − x) et je le compare à f(x).

4.Je réduis l'ensemble d'étude grâce à la période et à la parité, puis je complète la courbe.

Composée : même sens, croissante ; sens opposés, décroissante. Symétrie : on calcule f(2a − x).

C.Q.F.D.

1.Je montre que la droite x = 2 est axe de symétrie de f(x) = x² − 4x + 1.

2.f(4 − x) = (4 − x)² − 4(4 − x) + 1.

3.f(4 − x) = 16 − 8x + x² − 16 + 4x + 1 = x² − 4x + 1.

4.Donc f(4 − x) = f(x) pour tout x : la droite x = 2 est axe de symétrie.