Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : √(ab) = √a × √b pour a et b positifs
Deux nombres positifs de même carré sont forcément égaux : toute la preuve tient là.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- racine carrée
- Pour un réel positif x, √x est l'unique réel positif dont le carré vaut x.
Ce qu'on sait
- Pour un réel positif x, √x est l'unique réel positif dont le carré vaut x.
- Deux réels positifs qui ont le même carré sont égaux.
La méthode, étape par étape
1.Je pose a et b deux réels positifs quelconques, et je veux comparer √(ab) et √a × √b.
2.Les deux nombres √(ab) et √a × √b sont positifs, comme racine ou produit de nombres positifs.
3.Je calcule le carré de chacun : (√(ab))² = ab, et (√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = a × b.
4.Les deux carrés valent ab, et les deux nombres sont positifs : deux réels positifs de même carré sont égaux.
5.Donc √(ab) = √a × √b.
Quels que soient les réels positifs a et b, on a √(ab) = √a × √b.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Vérifions avec a = 9 et b = 16.
2.9 × 16 = 144.
3.√144 = 12.
4.√9 × √16 = 3 × 4 = 12.
5.On retrouve bien le même résultat : 12.