Géométrie · 4e
Cas d'égalité des triangles, configuration de Thalès et cosinus
Trois façons de prouver que deux triangles sont identiques, sans les superposer.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- triangles égaux
- Deux triangles superposables exactement : mêmes longueurs, mêmes angles.
- configuration de Thalès
- Deux triangles emboîtés dont les côtés correspondants sont parallèles deux à deux.
- cosinus
- Dans un triangle rectangle, le rapport entre le côté adjacent à un angle et l'hypoténuse.
Ce qu'on sait
- Trois côtés égaux, ou un angle égal encadré par deux côtés égaux, ou un côté égal encadré par deux angles égaux : dans chaque cas, les triangles sont égaux.
- Dans une configuration de Thalès : Deux triangles emboîtés dont les côtés correspondants sont parallèles deux à deux., les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.
La méthode, étape par étape
1.Pour prouver que deux triangles sont égaux, je cherche l'un des trois cas d'égalité (côtés, ou angle encadré, ou côté encadré).
2.Pour une configuration de Thalès, j'écris l'égalité des rapports de longueurs correspondantes.
3.Pour un angle dans un triangle rectangle, je calcule le cosinus : Dans un triangle rectangle, le rapport entre le côté adjacent à un angle et l'hypoténuse. en divisant le côté adjacent par l'hypoténuse.
Thalès : les longueurs sont proportionnelles. Cosinus = côté adjacent ÷ hypoténuse.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Dans un triangle ABC, D est sur (AB), E sur (AC), avec (DE) parallèle à (BC). On donne AD = 6 cm, AB = 8 cm, AC = 12 cm.
2.Le rapport AE/AC est égal au rapport AD/AB.
3.AE = 12 × 6 ÷ 8 = 9.
4.AE mesure 9 cm.
La méthode est apprise ? Prouve-le : un score, un niveau, un record à battre.