Algèbre · 1re
Démonstration : le calcul de 1 + 2 + … + n
Écrire la même somme deux fois, une fois à l'endroit, une fois à l'envers : la méthode de Gauss : Une méthode qui consiste à écrire une somme de termes consécutifs deux fois, dans les deux sens, puis à additionner les deux écritures terme à terme. transforme une addition compliquée en une simple multiplication.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- méthode de Gauss
- Une méthode qui consiste à écrire une somme de termes consécutifs deux fois, dans les deux sens, puis à additionner les deux écritures terme à terme.
Ce qu'on sait
- Je note S = 1 + 2 + … + n, la somme des n premiers entiers strictement positifs.
- Additionner S avec elle-même, terme à terme, donne 2S.
La méthode, étape par étape
1.J'écris S dans l'ordre croissant : S = 1 + 2 + … + (n − 1) + n.
2.J'écris la même somme S dans l'ordre décroissant : S = n + (n − 1) + … + 2 + 1.
3.J'additionne les deux écritures, colonne par colonne : chaque paire de termes superposés a pour somme n + 1 (1 avec n, 2 avec n − 1, et ainsi de suite).
4.Il y a exactement n colonnes, chacune valant n + 1 : 2S = n × (n + 1).
5.Je divise par 2 : S = n × (n + 1) / 2.
1 + 2 + … + n = n × (n + 1) / 2.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons n = 10.
2.S = 1 + 2 + … + 10.
3.Avec la formule : S = 10 × 11 / 2 = 55.
4.En additionnant directement : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Les deux méthodes concordent.