Analyse · Tle
Démonstration : résolution de l'équation différentielle y’ = ay
Vérifier qu'une famille de fonctions est solution est facile ; montrer qu'il n'y en a pas d'autre demande un argument de plus, en multipliant par une exponentielle bien choisie.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction auxiliaire
- Une fonction construite exprès (ici φ(x) = y(x)e⁻ᵃˣ) pour transformer le problème en une étude de dérivée nulle, plus simple.
Ce qu'on sait
- La fonction exponentielle vérifie exp′ = exp et n'est jamais nulle.
- Une fonction dont la dérivée est nulle sur ℝ est constante sur ℝ.
- La dérivée d'un produit : (uv)′ = u′v + uv′.
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie d'abord que, pour tout réel C, la fonction y(x) = Ceᵃˣ est solution de y′ = ay : y′(x) = Ca × eᵃˣ = a × y(x). C'est bien vérifié.
2.Je montre maintenant qu'il n'y a pas d'autre solution. Soit y une solution quelconque de y′ = ay. Je pose la fonction auxiliaire : Une fonction construite exprès (ici φ(x) = y(x)e⁻ᵃˣ) pour transformer le problème en une étude de dérivée nulle, plus simple. φ(x) = y(x) × e⁻ᵃˣ.
3.Je dérive φ, comme un produit : φ′(x) = y′(x)e⁻ᵃˣ + y(x) × (−a)e⁻ᵃˣ = (y′(x) − a × y(x)) × e⁻ᵃˣ.
4.Comme y est solution de y′ = ay, j'ai y′(x) − a × y(x) = 0, donc φ′(x) = 0 pour tout réel x.
5.φ a une dérivée nulle sur ℝ : elle est donc constante, égale à un certain réel C. J'obtiens y(x) × e⁻ᵃˣ = C, soit y(x) = Ceᵃˣ.
6.Toute solution de y′ = ay est bien de la forme Ceᵃˣ : ce sont exactement les solutions trouvées à la première étape.
Les solutions de l'équation différentielle y′ = ay (a réel) sont exactement les fonctions x ↦ Ceᵃˣ, où C est une constante réelle quelconque.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour a = −2 et une condition initiale y(0) = 5 : la solution est y(x) = 5e⁻²ˣ.
2.Vérification : y′(x) = −10e⁻²ˣ = −2 × 5e⁻²ˣ = −2y(x).