Géométrie · 2nde

Démonstration : le projeté orthogonal, point le plus proche

Parmi tous les points d'une droite, un seul minimise la distance à un point donné : son .

La démonstration en vidéo

projeté orthogonal: Le point H d'une droite Δ tel que (MH) soit perpendiculaire à Δ.

H est le projeté orthogonal de M sur Δ si H appartient à Δ et si (MH) est perpendiculaire à Δ.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (Pythagore).

1.Je considère H, le projeté orthogonal de M sur Δ, et N, un point quelconque de Δ différent de H.

2.Le triangle MHN est rectangle en H, car (MH) est perpendiculaire à Δ, et N appartient à Δ.

3.D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle, MN² = MH² + HN².

4.Comme N est différent de H, la longueur HN est strictement positive, donc HN² est lui aussi strictement positif.

5.J'ajoute un nombre strictement positif à MH² : MN² est donc strictement supérieur à MH², donc MN est strictement supérieur à MH.

6.H est donc bien, parmi tous les points de Δ, celui qui minimise la distance à M.

Pour tout point N de Δ distinct de H, MN est strictement supérieur à MH : H est le point de Δ le plus proche de M.

C.Q.F.D.

1.Prenons M(0 ; 4) et Δ l'axe des abscisses. Son projeté orthogonal est H(0 ; 0).

2.MH = 4.

3.Avec N(3 ; 0) sur Δ : MN = √(3² + 4²) = √25 = 5.

4.5 est strictement supérieur à 4 : N est bien plus loin de M que H, comme le prévoit la démonstration.