Analyse · 1re
Démonstration : la fonction dérivée d'un produit
Un terme ajouté puis retranché suffit à faire apparaître séparément les deux taux de variation d'un produit.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- terme croisé ajouté-retranché
- L'astuce qui consiste à insérer un même terme, une fois avec un signe +, une fois avec un signe −, pour faire apparaître deux différences utiles sans changer la valeur totale.
Ce qu'on sait
- u et v sont deux fonctions dérivables en a.
- Une fonction dérivable en a y est aussi continue : quand h se rapproche de 0, v(a + h) se rapproche de v(a).
La méthode, étape par étape
1.Je note f = uv, et je calcule le taux de variation de f entre a et a + h : (u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a))/h.
2.J'ajoute et je retranche le même terme au numérateur, u(a)v(a + h) : u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) − u(a)v(a).
3.Je factorise chaque paire : v(a + h)(u(a + h) − u(a)) + u(a)(v(a + h) − v(a)).
4.Je divise par h : v(a + h) × (u(a + h) − u(a))/h + u(a) × (v(a + h) − v(a))/h.
5.Quand h se rapproche de 0 : le premier quotient se rapproche de u′(a), le second de v′(a), et v(a + h) se rapproche de v(a) car v est continue en a.
6.Le taux de variation de f se rapproche donc de v(a) × u′(a) + u(a) × v′(a) : la fonction dérivée d'un produit uv est u′v + uv′.
La fonction dérivée du produit uv est (uv)′ = u′v + uv′.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour u(x) = x² et v(x) = x + 1, en a = 2 : u(2) = 4, v(2) = 3, u′(2) = 4, v′(2) = 1.
2.(uv)′(2) = 4 × 3 + 4 × 1 = 16.
3.Je vérifie directement : f(x) = x²(x + 1) = x³ + x², donc f′(x) = 3x² + 2x, et f′(2) = 12 + 4 = 16 : les deux méthodes concordent.