Analyse · Tle
Équations différentielles
Une équation dont l'inconnue est une fonction : la clé est toujours la même, une solution particulière : UNE fonction qui vérifie l'équation différentielle, choisie ou trouvée par un moyen simple (souvent une fonction constante). plus la solution générale de l'équation sans second membre.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- équation différentielle
- Une équation dont l'inconnue est une fonction y, reliée à sa propre dérivée y′.
- solution particulière
- UNE fonction qui vérifie l'équation différentielle, choisie ou trouvée par un moyen simple (souvent une fonction constante).
- condition initiale
- Une valeur imposée à la solution en un point donné (par exemple y(0)), qui permet de déterminer la constante C et donc UNE solution unique parmi toutes les solutions générales.
Ce qu'on sait
- Les solutions de y′ = ay sont exactement les fonctions x ↦ Ceᵃˣ, où C est une constante réelle quelconque.
- Pour y′ = ay + b (a ≠ 0), je cherche d'abord une solution particulière CONSTANTE y = k, en résolvant 0 = ak + b.
- La solution générale de y′ = ay + b est alors la somme de cette solution particulière et de la solution générale de y′ = ay : y = Ceᵃˣ + k.
- Pour y′ = ay + f (f non constante), si une solution particulière est donnée, la solution générale s'obtient en lui ajoutant la solution générale de y′ = ay.
- Une condition initiale : Une valeur imposée à la solution en un point donné (par exemple y(0)), qui permet de déterminer la constante C et donc UNE solution unique parmi toutes les solutions générales. (comme y(0) = valeur donnée) permet de calculer la valeur exacte de C.
La méthode, étape par étape
1.Je reconnais la forme de l'équation : y′ = ay (sans second membre) ou y′ = ay + b ou y′ = ay + f (avec second membre).
2.Pour y′ = ay, la solution générale est directement y = Ceᵃˣ.
3.Pour y′ = ay + b, je cherche d'abord la solution particulière constante k, en résolvant 0 = ak + b, PUIS j'écris la solution générale y = Ceᵃˣ + k.
4.Pour y′ = ay + f, si une solution particulière yₚ est donnée, la solution générale est y = Ceᵃˣ + yₚ.
5.Si une condition initiale est donnée, je remplace x et y par les valeurs connues pour calculer C.
y′ = ay : solutions y = Ceᵃˣ. y′ = ay + b : solutions y = Ceᵃˣ + k, où k est la solution particulière constante. y′ = ay + f : solutions y = Ceᵃˣ + yₚ, où yₚ est une solution particulière donnée.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour y′ = 2y + 6, la solution particulière constante vérifie 0 = 2k + 6, donc k = −3.
2.La solution générale est y = Ce²ˣ − 3.
3.Si y(0) = 1 : C − 3 = 1, donc C = 4, et la solution est y = 4e²ˣ − 3.