Analyse · Tle

Primitives

Chercher une , c'est lire le tableau des dérivées à l'envers — avec une infinité de réponses possibles, à une constante près.

La démonstration en vidéo

primitive: Une fonction F telle que F′ = f sur un intervalle : trouver une primitive, c'est « remonter » depuis une dérivée.
constante d'intégration: Le réel k tel que, si F est une primitive de f, alors F + k en est une autre : deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent toujours d'une constante.

F est une primitive de f sur un intervalle I si F′ = f sur I.
Primitives de référence : xⁿ (n ∈ ℤ, n ≠ −1) a pour primitive xⁿ⁺¹/(n + 1) ; 1/√x a pour primitive 2√x ; exp a pour primitive exp ; sin a pour primitive −cos ; cos a pour primitive sin.
Pour f = u′ × uⁿ, avec n entier différent de −1, une primitive est uⁿ⁺¹/(n + 1) (forme (v′ ∘ u) × u′, avec v(t) = tⁿ⁺¹/(n + 1)).
Une fonction continue sur un intervalle a une INFINITÉ de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.

1.Je reconnais la forme de f : fonction de référence directe, ou forme composée u′ × (quelque chose de u).

2.Pour une fonction de référence, j'applique directement la primitive du tableau.

3.Pour une forme composée, j'identifie u(x) et je vérifie que u′(x) apparait bien en facteur.

4.Je calcule la primitive de la fonction extérieure appliquée à u, et je vérifie en dérivant le résultat.

5.Je n'oublie jamais que la primitive trouvée n'est qu'UNE primitive parmi une infinité : la forme générale s'écrit F(x) + k.

F est une primitive de f si F′ = f ; primitive de u′ × uⁿ : uⁿ⁺¹/(n + 1) ; deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

C.Q.F.D.

1.Pour f(x) = 2x(x² + 1)³, je reconnais u(x) = x² + 1 (donc u′(x) = 2x) et n = 3.

2.Une primitive est F(x) = (x² + 1)⁴/4.

3.Vérification : F′(x) = 4(x² + 1)³ × 2x / 4 = 2x(x² + 1)³ = f(x).