Fonctions · 2nde

Démonstration : les variations d'une fonction affine selon le signe de m

Un seul nombre, le coefficient m, décide si toute la droite monte, descend, ou reste à plat.

La démonstration en vidéo

Le vocabulaire à connaître

fonction affine: Une fonction du type f(x) = mx + p, où m et p sont des réels fixés ; sa courbe représentative est une droite.

Ce qu'on sait

f est une fonction affine définie par f(x) = mx + p, avec m et p des réels.
a et b sont deux réels quelconques avec a ≤ b.
Comparer f(a) et f(b) revient à étudier le signe de leur différence f(b) − f(a).

La méthode, étape par étape

1.Je calcule la différence f(b) − f(a) = (mb + p) − (ma + p) = m(b − a).

2.Comme a ≤ b, la quantité b − a est positive ou nulle.

3.Si m est strictement positif, m(b − a) est positif ou nul, comme produit de deux facteurs positifs ou nuls : f(b) ≥ f(a), donc f est croissante.

4.Si m est strictement négatif, m(b − a) est négatif ou nul, comme produit d'un facteur négatif et d'un facteur positif ou nul : f(b) ≤ f(a), donc f est décroissante.

5.Si m est nul, f(b) − f(a) = 0 pour tous a et b : f garde la même valeur, elle est constante.

Pour f(x) = mx + p : f est croissante si m est positif, décroissante si m est négatif, constante si m est nul.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Prenons f(x) = 3x − 2, avec a = 1 et b = 4.

2.f(1) = 3 × 1 − 2 = 1 et f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.

3.f(4) − f(1) = 10 − 1 = 9, ce qui vaut bien m(b − a) = 3 × (4 − 1) = 9.

4.Cette différence est positive, comme m = 3 : f(4) est supérieur à f(1), conforme à une fonction croissante.

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