Géométrie · 2nde

Démonstration : cos²(α) + sin²(α) = 1

Le théorème de Pythagore, divisé par le carré de l'hypoténuse, cache la relation la plus utilisée de la trigonométrie.

La démonstration en vidéo

côté adjacent: Dans un triangle rectangle, le côté qui touche l'angle étudié, sans être l'hypoténuse.

Dans un triangle rectangle avec un angle α, cos(α) = /hypoténuse et sin(α) = côté opposé/hypoténuse.
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle : hypoténuse² = côté² + côté².

1.Je considère un triangle ABC rectangle en A, avec un angle α au sommet B. Le côté adjacent à α est AB, le côté opposé est AC, l'hypoténuse est BC.

2.Par définition, cos(α) = AB/BC et sin(α) = AC/BC.

3.Je calcule cos²(α) + sin²(α) = (AB/BC)² + (AC/BC)² = (AB² + AC²)/BC².

4.D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A, AB² + AC² = BC².

5.Je remplace : cos²(α) + sin²(α) = BC²/BC² = 1.

Pour tout angle α d'un triangle rectangle, cos²(α) + sin²(α) = 1.

C.Q.F.D.

1.Vérifions la relation pour le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3, AC = 4 et BC = 5.

2.cos(α) = 3/5 = 0,6 et sin(α) = 4/5 = 0,8.

3.cos²(α) + sin²(α) = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1.