Analyse · Tle
Démonstration : la formule d'intégration par parties
La dérivée d'un produit, intégrée entre deux bornes, se réarrange en une formule qui transforme une intégrale difficile en une autre, plus simple.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- intégration par parties
- La formule ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx, utile quand la seconde intégrale est plus simple que la première.
Ce qu'on sait
- Pour u et v deux fonctions dérivables, à dérivées continues, sur [a ; b] : (uv)′ = u′v + uv′.
- La relation entre intégrale et primitive : ∫ₐᵇ g′(x) dx = g(b) − g(a) = [g(x)]ₐᵇ, pour g de dérivée continue.
La méthode, étape par étape
1.Je pars de la formule de dérivation d'un produit : (uv)′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x), valable pour tout x de [a ; b].
2.J'intègre les deux membres de cette égalité entre a et b : ∫ₐᵇ (uv)′(x) dx = ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx + ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
3.Le membre de gauche se calcule directement, car uv est une primitive de (uv)′ : ∫ₐᵇ (uv)′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ.
4.J'obtiens donc [u(x)v(x)]ₐᵇ = ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx + ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
5.En isolant l'intégrale de u(x)v′(x), j'obtiens la formule d'intégration par parties : ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx.
Pour u et v dérivables à dérivées continues sur [a ; b] : ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx, où [u(x)v(x)]ₐᵇ désigne u(b)v(b) − u(a)v(a).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour ∫₀¹ x eˣ dx, je pose u(x) = x et v′(x) = eˣ, donc u′(x) = 1 et v(x) = eˣ.
2.∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1 × e¹ − 0) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.