Analyse · Tle
Démonstration : la limite de (qⁿ), après l'inégalité de Bernoulli
Une inégalité démontrée par récurrence, et toute la limite d'une suite géométrique s'en déduit.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- inégalité de Bernoulli
- Pour tout réel x strictement positif et tout entier naturel n, (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.
Ce qu'on sait
- Le principe de récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
- Le théorème de comparaison : une suite minorée par une suite qui tend vers +∞ tend elle-même vers +∞.
- Tout réel q strictement supérieur à 1 s'écrit q = 1 + x avec x strictement positif.
La méthode, étape par étape
1.Je démontre d'abord, par récurrence, l'inégalité de Bernoulli : pour x réel strictement positif, (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx pour tout entier n.
2.Initialisation : au rang n = 0, (1 + x)⁰ = 1 = 1 + 0 × x : l'inégalité est vraie.
3.Hérédité : je suppose (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. Comme 1 + x est strictement positif, je multiplie les deux membres par (1 + x) : (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx². Comme nx² ≥ 0, j'obtiens (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)x.
4.Par récurrence, l'inégalité de Bernoulli est établie pour tout entier n.
5.Pour q strictement supérieur à 1, j'écris q = 1 + x avec x strictement positif : qⁿ ≥ 1 + nx, qui tend vers +∞ ; par comparaison, qⁿ tend vers +∞.
6.Pour q strictement compris entre −1 et 1, je traite d'abord le cas q = 0 : tous les termes sont nuls à partir du rang 1, donc qⁿ tend vers 0.
7.Pour q non nul et strictement compris entre −1 et 1, l'inverse de |q| est strictement supérieur à 1 : je l'écris 1 + x avec x strictement positif, et le point précédent donne (1/|q|)ⁿ qui tend vers +∞. Son inverse |q|ⁿ tend donc vers 0.
8.Enfin, qⁿ est encadré par −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ : les deux bornes tendent vers 0, donc, par le théorème des gendarmes, qⁿ tend vers 0.
Pour q strictement supérieur à 1, qⁿ tend vers +∞. Pour q strictement compris entre −1 et 1, qⁿ tend vers 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour q = 1,1 = 1 + 0,1 : l'inégalité de Bernoulli donne 1,1¹⁰ ≥ 1 + 10 × 0,1 = 2.
2.La valeur réelle, environ 2,594, confirme bien cette minoration, et illustre que 1,1ⁿ grandit sans borne.