Analyse · Tle
Étude de la fonction logarithme
ln grandit sans fin, mais de plus en plus lentement : sa dérivée, ses limites et la croissance comparée : Un résultat qui compare la « vitesse » de deux fonctions qui tendent toutes deux vers l'infini ou vers zéro : en +∞, x l'emporte toujours sur ln(x) ; en 0, x écrase la divergence de ln(x) vers −∞. racontent toute son histoire.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- croissance comparée
- Un résultat qui compare la « vitesse » de deux fonctions qui tendent toutes deux vers l'infini ou vers zéro : en +∞, x l'emporte toujours sur ln(x) ; en 0, x écrase la divergence de ln(x) vers −∞.
Ce qu'on sait
- La dérivée de ln est ln′(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[.
- Comme 1/x est toujours strictement positive, ln est strictement croissante sur tout son ensemble de définition.
- Limites de référence : limx ⟶ 0 ln(x) = −∞ ; limx ⟶ +∞ ln(x) = +∞.
- Croissance comparée : limx ⟶ +∞ ln(x)/x = 0 ; limx ⟶ 0 x ln(x) = 0.
- Pour une composée ln(u), la dérivée est u′/u — jamais u′ seule.
La méthode, étape par étape
1.Pour une limite de référence (en 0 ou en +∞), je cite directement le résultat du cours.
2.Pour une croissance comparée, je reconnais la forme ln(x)/x (en +∞) ou x ln(x) (en 0), toutes deux de limite 0.
3.Pour dériver ln(u), je repère u(x) à l'intérieur du logarithme, je calcule u′(x), et j'applique (ln(u))′ = u′/u.
4.Je n'oublie JAMAIS de diviser par u : dériver ln(u) et obtenir seulement u′ est une erreur fréquente.
ln′(x) = 1/x, strictement croissante sur ]0 ; +∞[ ; limites −∞ en 0, +∞ en +∞ ; croissance comparée : ln(x)/x → 0 et x ln(x) → 0 ; (ln(u))′ = u′/u.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = ln(3x + 2), composée de ln et u(x) = 3x + 2 (donc u′(x) = 3).
2.f′(x) = 3/(3x + 2).
3.f′(1) = 3/(3 × 1 + 2) = 3/5.