Nombres et calculs · 3AC
Les trois identités remarquables : développer, factoriser, calculer
Trois égalités à connaître par cœur, et des calculs qui semblaient longs se font de tête.
Le vocabulaire à connaître
- développer
- Transformer un produit en une somme, en supprimant les parenthèses.
- factoriser
- Transformer une somme en un produit : c'est le chemin inverse du développement.
- double produit
- Le terme 2ab : deux fois le produit des deux nombres a et b.
Ce qu'on sait
- Le carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Le carré d'une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b².
- Le produit d'une somme par une différence : (a + b)(a − b) = a² − b².
La méthode, étape par étape
1.Je repère la forme : carré d'une somme, carré d'une différence, ou produit (a + b)(a − b).
2.J'identifie a et b dans l'expression.
3.J'écris le résultat de l'identité en remplaçant a et b, sans oublier le double produit : Le terme 2ab : deux fois le produit des deux nombres a et b. 2ab.
4.Pour factoriser : Transformer une somme en un produit : c'est le chemin inverse du développement., je fais le chemin inverse : je reconnais a² et b², puis je vérifie le terme du milieu.
Carré d'une somme, carré d'une différence, produit d'une somme par une différence : trois formules à reconnaître dans les deux sens.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je veux développer : Transformer un produit en une somme, en supprimant les parenthèses. (x + 5)² : a = x et b = 5.
2.Le carré de a est x², le double produit est 2 × x × 5 = 10x, le carré de b est 5² = 25.
3.Donc (x + 5)² = x² + 10x + 25.
4.Calcul de tête : 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
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