Algèbre et géométrie · Tle
Démonstration : l'équation cartésienne du plan normal à un vecteur
Une seule condition d'orthogonalité, développée en coordonnées, suffit à faire apparaître l'équation ax + by + cz + d = 0 qui décrit tout un plan de l'espace.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- plan normal à <span class="vec">n</span>
- Le plan formé de tous les points M tels que AM soit orthogonal au vecteur n, pour un point A et un vecteur n donnés.
Ce qu'on sait
- M appartient au plan passant par A et normal à n si et seulement si AM est orthogonal à n, c'est-à-dire si AM ⋅ n = 0.
- En base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x ; y ; z) et (a ; b ; c) vaut ax + by + cz.
- Les coordonnées de AM, pour A(xA ; yA ; zA) et M(x ; y ; z), sont (x − xA ; y − yA ; z − zA).
La méthode, étape par étape
1.Je note A(xA ; yA ; zA) et n(a ; b ; c) le vecteur normal donné, et je cherche l'équation vérifiée par les points M(x ; y ; z) du plan passant par A et normal à n.
2.Par définition, M appartient à ce plan si et seulement si le vecteur AM est orthogonal à n, c'est-à-dire si AM ⋅ n = 0.
3.Les coordonnées de AM sont (x − xA ; y − yA ; z − zA). Le produit scalaire en base orthonormée s'écrit donc a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0.
4.Je développe : ax − a×xA + by − b×yA + cz − c×zA = 0, puis je regroupe les constantes : ax + by + cz + (−a×xA − b×yA − c×zA) = 0.
5.En posant d = −a×xA − b×yA − c×zA, j'obtiens une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 : c'est l'équation cartésienne cherchée.
Le plan passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur normal n(a ; b ; c) a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, avec d = −(a×xA + b×yA + c×zA).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit A(1 ; 2 ; −1) et n(3 ; −1 ; 2).
2.3(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0.
3.3x − 3 − y + 2 + 2z + 2 = 0.
4.Le plan a pour équation cartésienne 3x − y + 2z + 1 = 0.