Analyse · Tle
Fonctions sinus et cosinus
sin et cos se dérivent l'une dans l'autre, se répètent tous les 2π, et suffisent à résoudre des problèmes d'optimisation géométrique.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction paire
- Une fonction f telle que f(−x) = f(x) pour tout réel x : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. C'est le cas de cos.
- fonction impaire
- Une fonction f telle que f(−x) = −f(x) pour tout réel x : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. C'est le cas de sin.
- périodique
- Une fonction qui reprend exactement les mêmes valeurs à intervalles réguliers : sin et cos sont périodiques de période 2π.
Ce qu'on sait
- Dérivées : sin′(x) = cos(x) et cos′(x) = −sin(x) (avec le signe moins pour cos).
- cos est paire (cos(−x) = cos(x)), sin est impaire (sin(−x) = −sin(x)) ; toutes deux sont périodique : Une fonction qui reprend exactement les mêmes valeurs à intervalles réguliers : sin et cos sont périodiques de période 2π. de période 2π.
- Sur [0 ; π], cos est décroissante (sa dérivée −sin(x) y est négative ou nulle).
- L'équation cos(x) = a, pour a strictement compris entre −1 et 1, a exactement deux solutions opposées sur [−π ; π].
La méthode, étape par étape
1.Pour une dérivée, j'applique directement sin′ = cos ou cos′ = −sin (en n'oubliant jamais le signe moins pour cos).
2.Pour résoudre cos(x) = a sur [−π ; π], je reconnais une valeur remarquable ou j'utilise le cercle trigonométrique : les deux solutions sont opposées.
3.Pour une inéquation cos(x) ≤ a, je m'appuie sur les solutions de l'égalité et sur le sens de variation de cos pour délimiter les intervalles.
4.Pour un problème d'optimisation, j'exprime la quantité à optimiser en fonction d'un angle, je dérive, et j'étudie le signe de la dérivée pour trouver le maximum ou le minimum.
sin′ = cos ; cos′ = −sin ; l'équation cos(x) = a, pour a strictement compris entre −1 et 1, a deux solutions opposées sur [−π ; π] ; un problème trigonométrique se résout comme toute étude de fonction : dérivée, signe, variations.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Un rectangle est inscrit dans un demi-cercle de rayon 1, d'aire A(θ) = sin(2θ), pour θ dans ]0 ; π/2[.
2.A(θ) est maximale quand sin(2θ) = 1, soit 2θ = π/2, donc θ = π/4.
3.L'aire maximale vaut alors A(π/4) = sin(π/2) = 1.