Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : le nombre réel √2 est irrationnel
Aucune fraction, même la plus compliquée, ne donne exactement 2 une fois élevée au carré.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fraction irréductible
- Une fraction p/q dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Ce qu'on sait
- Un nombre rationnel s'écrit p/q, avec p et q des entiers, q non nul, et la fraction p/q irréductible.
- Le carré d'un nombre impair est impair (démonstration précédente) : par contraposée, si le carré d'un entier est pair, cet entier est pair.
- Une fraction irréductible : Une fraction p/q dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. ne peut pas avoir un numérateur et un dénominateur tous les deux pairs.
La méthode, étape par étape
1.Je raisonne par l'absurde : je suppose que √2 est un nombre rationnel.
2.Je peux alors écrire √2 = p/q, où p et q sont des entiers naturels non nuls et la fraction p/q est irréductible.
3.En élevant au carré, j'obtiens 2 = p²/q², donc p² = 2q².
4.p² est donc pair. Par contraposée du « carré d'un impair est impair », p est pair : j'écris p = 2k.
5.En remplaçant, (2k)² = 2q², soit 4k² = 2q², donc q² = 2k² : q² est pair, donc q est pair aussi, par le même argument.
6.p et q sont donc tous les deux pairs : ils ont 2 comme diviseur commun, ce qui contredit l'irréductibilité de p/q. J'aboutis à une contradiction : √2 n'est pas rationnel.
Le nombre réel √2 est irrationnel.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Approchons √2 par des décimaux de plus en plus précis.
2.1,4² = 1,96.
3.1,41² = 1,9881.
4.1,414² = 1,999396.
5.Plus on ajoute de décimales, plus on s'approche de 2 sans jamais l'atteindre exactement : aucun décimal ne donne 2 pile, ce qui illustre concrètement l'irrationalité de √2.