Analyse · Tle
Calcul intégral
Une intégrale, c'est d'abord une aire sous une courbe — et une primitive suffit pour la calculer exactement, sans découper en rectangles.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- relation de Chasles
- Pour découper une intégrale en deux morceaux : ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx.
- valeur moyenne
- La hauteur du rectangle de même aire que la fonction sur [a ; b] : (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
- intégration par parties
- Une technique qui transforme ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx en [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx, utile quand cette seconde intégrale est plus simple.
Ce qu'on sait
- Pour f continue positive sur [a ; b], ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire sous la courbe de f, et vaut F(b) − F(a) pour toute primitive F de f.
- Linéarité : ∫ₐᵇ (λf(x) + μg(x)) dx = λ∫ₐᵇ f(x) dx + μ∫ₐᵇ g(x) dx.
- Si f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx (l'intégration conserve les inégalités).
- relation de Chasles : Pour découper une intégrale en deux morceaux : ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx. : ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx.
- Aire entre deux courbes, quand f est au-dessus de g sur [a ; b] : ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.
La méthode, étape par étape
1.Je cherche une primitive F de f, puis je calcule F(b) − F(a), en respectant l'ordre des bornes (jamais F(a) − F(b), qui inverserait le signe).
2.Pour une intégration par parties : Une technique qui transforme ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx en [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx, utile quand cette seconde intégrale est plus simple., je choisis u et v′ (v′ facile à intégrer, u qui se simplifie en dérivant), puis j'applique la formule.
3.Pour majorer ou minorer une intégrale, je compare d'abord les fonctions elles-mêmes sur l'intervalle, puis j'intègre l'inégalité.
4.Pour une aire entre deux courbes, je détermine d'abord laquelle est au-dessus, puis j'intègre leur différence (la plus grande moins la plus petite).
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) ; linéarité, positivité, relation de Chasles ; aire entre deux courbes : ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx quand f est au-dessus de g.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour calculer ∫₀¹ x eˣ dx, je pose u(x) = x et v′(x) = eˣ, donc u′(x) = 1 et v(x) = eˣ.
2.∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1 × e − 0) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.