Analyse · Tle
Démonstration : le lien entre intégrale et primitive
L'aire accumulée depuis a jusqu'à x, prise comme fonction de x, se révèle être une primitive de f : voilà pourquoi une seule primitive suffit à calculer toute intégrale.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- taux de variation
- Pour une fonction G, le quotient (G(x + h) − G(x)) / h : sa limite quand h tend vers 0 est G′(x).
Ce qu'on sait
- f est continue, positive et croissante sur [a ; b] — la continuité est l'hypothèse de tout le chapitre : on n'intègre que des fonctions continues.
- Pour f positive et croissante, ∫ₓˣ⁺ʰ f(t) dt, avec h strictement positif et petit, représente l'aire d'une bande verticale, encadrée par les rectangles de hauteurs f(x) et f(x + h).
- Si une fonction G vérifie limh ⟶ 0 (G(x + h) − G(x))/h = f(x) pour tout x, alors G′ = f.
La méthode, étape par étape
1.Je définis G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, l'aire accumulée entre a et x, pour x dans [a ; b].
2.Pour h strictement positif et petit, G(x + h) − G(x) = ∫ₓˣ⁺ʰ f(t) dt est l'aire de la bande entre x et x + h (le cas h strictement négatif se traite de la même façon, en encadrant l'aire de la bande située à gauche de x).
3.Comme f est croissante sur cette bande, cette aire est encadrée par les deux rectangles de largeur h : h × f(x) ≤ G(x + h) − G(x) ≤ h × f(x + h).
4.En divisant par h (positif) : f(x) ≤ (G(x + h) − G(x))/h ≤ f(x + h).
5.Quand h tend vers 0, f(x + h) tend vers f(x), puisque f est continue ; le taux de variation : Pour une fonction G, le quotient (G(x + h) − G(x)) / h : sa limite quand h tend vers 0 est G′(x). de G est donc encadré par deux quantités qui tendent vers f(x) : par le théorème des gendarmes, G′(x) = f(x).
6.G est donc une primitive de f. Pour toute AUTRE primitive F de f, F et G diffèrent d'une constante k : F(x) = G(x) + k. En x = a, G(a) = 0, donc k = F(a). En x = b : F(b) = G(b) + F(a), soit ∫ₐᵇ f(x) dx = G(b) = F(b) − F(a).
Pour f continue, positive et croissante sur [a ; b], G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est une primitive de f, et pour toute primitive F de f, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 3], une primitive est F(x) = x³/3.
2.∫₀³ x² dx = F(3) − F(0) = 27/3 − 0 = 9.