Probabilités · 2e Bac SM

Probabilités : conditionnement, dénombrement, variables aléatoires et loi binomiale

Un tirage, un test, un QCM répondu au hasard : les probabilités transforment l'incertitude en nombres que l'on peut comparer et combiner.

Le vocabulaire à connaître

probabilité conditionnelle: P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A) : la probabilité de B sachant que A est réalisé.
événements indépendants: A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Incompatibles signifie A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0.
loi binomiale: La loi du nombre X de succès dans n épreuves indépendantes de même probabilité p : P(X = k) = C(n ; k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
espérance et variance: E(X) = Σ xᵢ pᵢ et V(X) = E(X²) − E(X)² ; l'écart type est √V(X).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(non A) = 1 − P(A) ; P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
Formule des probabilités totales : si les Aᵢ forment une partition, P(B) = Σ P(Aᵢ) P(B | Aᵢ) ; formule de Bayes : P(A | B) = P(A)P(B | A)/P(B).
Dénombrement : tirage ordonné sans remise n(n − 1)… ; tirage non ordonné C(n ; k) = n!/(k!(n − k)!) ; anagrammes d'un mot avec lettres répétées : n! divisé par les factorielles des répétitions. Pour B(n ; p), E(X) = np et V(X) = np(1 − p).

1.Je définis les événements et j'écris les données avec des probabilités (conditionnelles si on lit « parmi »).

2.Je choisis le modèle de dénombrement : l'ordre compte-t-il, y a-t-il remise ?

3.J'applique la formule adaptée : réunion, intersection, probabilités totales, Bayes ou .

4.Je vérifie que le résultat est compris entre 0 et 1 et que les probabilités d'une loi s'additionnent à 1.

P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) ; avec la loi binomiale B(n ; p), P(X = k) = C(n ; k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

C.Q.F.D.

1.Un élève répond au hasard à 4 questions, avec la probabilité 1/3 de réussir chacune. Je calcule P(X = 2).

2.X suit la loi binomiale B(4 ; 1/3) et C(4 ; 2) = 6.

3.(1/3)² = 1/9 et (2/3)² = 4/9.

4.Donc P(X = 2) = 6 × (1/9) × (4/9) = 24/81 = 8/27.